Vectores y Espacio Bidimensional

Los vectores representan cantidades que tienen magnitud y dirección, como fuerzas o velocidades. En el espacio bidimensional podemos manipularlos de varias formas:

La suma de vectores puede realizarse geométricamente mediante la regla del paralelogramo o algebraicamente sumando las componentes homónimas. Si $\vec{a}=(a_1,a_2)$ y $\vec{b}=(b_1,b_2)$, entonces $\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$.

La multiplicación por un escalar $c$ cambia la magnitud del vector y posiblemente su sentido: $c\vec{a}=(ca_1,ca_2)$. Si $c<0$, el vector resultante tendrá sentido opuesto al original.

💡 El módulo o magnitud de un vector se calcula usando el teorema de Pitágoras: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

Un vector unitario mantiene la dirección del vector original pero tiene magnitud 1. Se calcula como $\vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$. Los versores $\vec{i}$ y $\vec{j}$ son vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados.

Propiedades de Vectores y Espacio Tridimensional

Las operaciones vectoriales cumplen propiedades importantes como la conmutatividad, asociatividad, identidad aditiva y distributividad. Estas propiedades facilitan manipular expresiones vectoriales complejas.

En el espacio tridimensional, trabajamos con coordenadas rectangulares $(x,y,z)$. Los vectores en este espacio tienen tres componentes: $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$.

La distancia entre dos puntos $P_1(x_1,y_1,z_1)$ y $P_2(x_2,y_2,z_2)$ se calcula con la fórmula: $d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

La aritmética de componentes en 3D sigue las mismas reglas que en 2D, pero con una tercera coordenada:

• Suma: $\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$
• Multiplicación por escalar: $c\vec{a}=(ca_1,ca_2,ca_3)$
• Magnitud: $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

💡 Cuando necesites trabajar con vectores entre dos puntos, usa la fórmula $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$

Producto Escalar y Ángulos Directores

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores es un número real que se calcula de dos formas equivalentes:

En forma de componentes: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

En forma trigonométrica: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, donde θ es el ángulo entre los vectores.

El producto escalar tiene importantes propiedades:

• Es conmutativo: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• Cumple la propiedad distributiva: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
• $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

💡 El signo del producto escalar te dice mucho: si es positivo, el ángulo es agudo; si es negativo, es obtuso; si es cero, los vectores son perpendiculares.

Los ángulos directores son los ángulos que forma un vector con los ejes coordenados. Los cosenos de estos ángulos se calculan como: $\cos\alpha = \frac{a_1}{|\vec{a}|}$, $\cos\beta = \frac{a_2}{|\vec{a}|}$, $\cos\gamma = \frac{a_3}{|\vec{a}|}$

Estos cosenos nos permiten expresar un vector unitario en la dirección de $\vec{a}$ como $\hat{a} = \cos\alpha\vec{i} + \cos\beta\vec{j} + \cos\gamma\vec{k}$.

Proyecciones y Producto Cruz

La proyección de un vector $\vec{a}$ sobre otro vector $\vec{b}$ nos indica qué tanto del vector $\vec{a}$ se extiende en la dirección de $\vec{b}$:

$\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = |\vec{a}|\cos\theta$

La proyección vectorial se calcula como: $\text{proy}{\vec{b}}\vec{a} = (\text{comp}{\vec{b}}\vec{a})\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$

El producto cruz (o producto vectorial) de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es un vector $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ con las siguientes características:

• Su módulo es: $|\vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$
• Su dirección es perpendicular al plano que contienen $\vec{a}$ y $\vec{b}$
• Su sentido se determina por la regla de la mano derecha

💡 El producto cruz se puede calcular usando determinantes: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

Algunas propiedades importantes del producto cruz:

• No es conmutativo: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
• Es distributivo: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
• $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
• El módulo $|\vec{a} \times \vec{b}|$ equivale al área del paralelogramo formado por los vectores.

Triple Producto y Rectas

El triple producto escalar o producto mixto de tres vectores se define como: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Se puede calcular mediante un determinante: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$

El valor absoluto del triple producto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. Si el triple producto es cero, los tres vectores son coplanares.

Las rectas en el espacio se pueden representar mediante ecuaciones en diferentes formas:

• Forma punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$
• Forma pendiente-ordenada al origen: $y = mx + b$
• Forma de dos puntos: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$
• Forma segmentaria: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
• Forma normal: $x\cos\alpha + y\sin\alpha = d$
• Forma general: $Ax + By + C = 0$

💡 La distancia de un punto a una recta en forma normal es $d_P = |x\cos\alpha + y\sin\alpha - d|$

Rectas en el Espacio y Planos

El ángulo entre dos rectas se puede calcular usando sus pendientes: $\tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}\right|$

Dos rectas son paralelas si $m_1 = m_2$ y perpendiculares si $m_1 \cdot m_2 = -1$.

La ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ con dirección $\vec{v}$ es: $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v}$, donde $t$ es un parámetro real.

En componentes: $x = x_0 + ta_1$, $y = y_0 + ta_2$, $z = z_0 + ta_3$

La mínima distancia entre rectas oblicuas se calcula usando el producto vectorial de sus vectores directores: $d = \frac{|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

Un plano en el espacio se puede representar mediante una ecuación de la forma: $Ax + By + Cz + D = 0$

donde $(A,B,C)$ son las componentes del vector normal al plano.

💡 La distancia de un punto $P_1(x_1,y_1,z_1)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Posiciones Relativas y Aplicaciones

La posición relativa entre planos puede ser:

• Planos paralelos: tienen el mismo vector normal $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$
• Planos coincidentes: son iguales
• Planos secantes: se intersectan en una recta

La relación entre una recta y un plano puede ser:

• La recta está contenida en el plano
• La recta es paralela al plano pero no está contenida en él
• La recta corta al plano en un punto
• La recta es perpendicular al plano

Para encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos no colineales $P_1, P_2$ y $P_3$:

1. Forma dos vectores entre estos puntos: $\vec{v_1} = \overrightarrow{P_1P_2}$ y $\vec{v_2} = \overrightarrow{P_1P_3}$
2. Calcula el producto cruz $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ para obtener el vector normal
3. Usa la forma punto-normal del plano: $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_1}) = 0$

💡 Para graficar un plano, es útil encontrar las intersecciones con los ejes coordenados, lo que te da tres puntos para construir el plano.

Las aplicaciones de vectores son numerosas en física (para representar fuerzas, velocidades, etc.), en geometría (para describir figuras y transformaciones) y en ingeniería (para calcular momentos, trabajos y otros conceptos físicos).