¿Qué es una matriz?

Una matriz es un conjunto ordenado de números dispuestos en filas y columnas encerrados entre corchetes o paréntesis. Cuando decimos que una matriz es de orden mxn, significa que tiene m filas y n columnas.

Por ejemplo, la matriz $A = \begin{bmatrix} 0 & 4 \ -1 & 7 \ 3 & 1 \end{bmatrix}$ tiene 3 filas y 2 columnas, por lo que es de orden 3x2.

Cada elemento de una matriz se representa como $a_{ij}$, donde i indica la fila y j la columna donde se encuentra. Así, en la matriz anterior, $a_{11} = 0$ (primera fila, primera columna) y $a_{32} = 1$ (tercera fila, segunda columna).

💡 ¡Truco de memoria! Para recordar la posición de los elementos, siempre piensa "primero filas, después columnas" - es como las coordenadas en un mapa, pero ¡al revés!

Elementos y notación matricial

La estructura general de una matriz A de orden mxn se escribe como:

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \ \end{bmatrix} $$

En símbolos: A mxn = $aij$, donde i=1, 2, ...m y j= 1, 2, ...n

Al trabajar con matrices como las siguientes:

$A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2 \ 7 & -3 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 2/3 & 1 \ -5 & 4 & 0 \ 0 & 8 & 0 \end{bmatrix}$ y $C= \begin{bmatrix} 2 & -1/4 & 0 \end{bmatrix}$

Es importante notar que los elementos como b31 y b23 ocupan posiciones diferentes en la matriz. El orden en que escribimos los índices es crucial: primero la fila, luego la columna.

💡 ¡Atención! Los elementos b31 y b23 no ocupan la misma posición aunque pueden tener el mismo valor numérico. El orden de los subíndices importa mucho.

Matrices cuadradas y diagonales

Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. Si tiene n filas y n columnas, decimos que es de orden n.

Por ejemplo, $C_{3x3} = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \ 1 & 0 & 8 \ 0 & 4 & 7 \end{bmatrix}$ es una matriz cuadrada de orden 3.

En las matrices cuadradas, los elementos donde i = j es decir, $a_{11}$, $a_{22}$, etc. forman la diagonal principal. En el ejemplo anterior, los elementos de la diagonal principal son 2, 0 y 7.

La diagonal secundaria está formada por los elementos $a_{ij}$ donde i+j = n+1. En la matriz C de orden 3, serían los elementos $a_{13}$, $a_{22}$ y $a_{31}$, es decir: -3, 0 y 0.

💡 Visualízalo así: La diagonal principal va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha, mientras que la diagonal secundaria va de la esquina superior derecha a la inferior izquierda.

Matrices especiales

Existen varios tipos de matrices con características particulares:

Matriz Nula (φ ὁ Θ): Todos sus elementos son cero. Por ejemplo: $φ_{1x3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ o $Θ_{3x2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: $F = \begin{bmatrix} -5 & 4 & 9 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: $G = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 0 \ 8 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: $N = \begin{bmatrix} -8 & 0 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$

💡 Truco de identificación: Para reconocer rápidamente estas matrices especiales, fíjate primero dónde están los ceros. La ubicación de los ceros determina el tipo de matriz.

Más tipos de matrices especiales

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Por ejemplo: $K = \begin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$ o $M = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \ 0 & -3 & 0 \ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$

Matriz Identidad (I): Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Por ejemplo: $I_{2x2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ o $I_{3x3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Veamos cómo identificar algunas matrices:

• $G = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ es una matriz diagonal de orden 4x4
• $B = \begin{bmatrix} 9 & 5 & 1\ 0 & -1 & 3\ 0 & 0 & -5\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ es una matriz triangular superior de orden 4x3
• $L = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$ es una matriz nula de orden 2x2
• $M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 4 & 1 \end{bmatrix}$ es una matriz triangular inferior de orden 2x2

💡 Dato interesante: La matriz identidad actúa como el "1" en multiplicación de matrices, ya que cualquier matriz multiplicada por la identidad resulta en la matriz original.

Operaciones con matrices

Al igual que con los números, podemos realizar varias operaciones algebraicas con matrices.

Producto de un escalar por una matriz: Cuando multiplicamos una matriz por un número (escalar), multiplicamos cada elemento de la matriz por ese número.

Por ejemplo: Si $G = \begin{bmatrix} 0 & 2\ -4 & 1\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ entonces $3G = \begin{bmatrix} 0 & 6\ -12 & 3\ 15 & 18 \end{bmatrix}$

Suma matricial: Para sumar dos matrices, estas deben tener el mismo orden. El resultado es otra matriz del mismo orden, donde cada elemento es la suma de los elementos correspondientes de las matrices originales.

Por ejemplo, si tenemos: $A = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 7\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 0 & -5 & -6\ \frac{1}{3} & 2 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

La suma $A + B$ será: $C = \begin{bmatrix} 5+0 & 3+(-5) & 7+(-6)\ 0+\frac{1}{3} & (-2)+2 & 5+\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 1\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{11}{2} \end{bmatrix}$

💡 Regla clave: Solo puedes sumar matrices que tengan exactamente el mismo número de filas y columnas. ¡Nunca lo olvides!

Aplicación de matrices: Comercio internacional

Las matrices son herramientas poderosas para representar datos en economía. Veamos un ejemplo práctico:

Tres países tienen el siguiente comercio durante 1986 (en millones de dólares estadounidenses), donde cada elemento $a_{ij}$ representa las exportaciones del país i al país j:

$A = \begin{bmatrix} 0 & 16 & 20 \ 17 & 0 & 18 \ 21 & 14 & 0 \end{bmatrix}$

Y en 1987 el comercio fue:

$B = \begin{bmatrix} 0 & 17 & 19\ 18 & 0 & 20\ 24 & 16 & 0 \end{bmatrix}$

Para calcular el comercio total de los dos años, sumamos las matrices:

$T = A + B = \begin{bmatrix} 0 & 33 & 39\ 35 & 0 & 38\ 45 & 30 & 0 \end{bmatrix}$

Si queremos expresar este comercio en dólares de Hong Kong $donde 1 dólar estadounidense = 5 dólares de Hong Kong$, multiplicamos la matriz T por el escalar 5:

$H = 5T = \begin{bmatrix} 0 & 165 & 195\ 175 & 0 & 190\ 225 & 150 & 0 \end{bmatrix}$

💡 Aplicación real: ¿Ves cómo las matrices simplifican el manejo de grandes cantidades de datos relacionados? Este tipo de cálculos se usa constantemente en economía internacional.

Producto matricial

El producto matricial es una operación más compleja que la suma. Para multiplicar dos matrices A y B:

1. Las matrices deben ser conformables: el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.
2. El resultado será una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.
3. Cada elemento del resultado se obtiene como el producto interno entre una fila de A y una columna de B.

Por ejemplo, si tenemos: $A_{2x3} = \begin{bmatrix} -4 & 0 & 1 \ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ y $B_{3x2} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \ 8 & 6 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$

Para calcular el elemento $c_{11}$ del producto $C = A \times B$: $c_{11} = (-4 \times 2) + (0 \times 8) + (1 \times 0) = -8 + 0 + 0 = -8$

Para el elemento $c_{21}$: $c_{21} = (1 \times 2) + (5 \times 8) + (3 \times 0) = 2 + 40 + 0 = 42$

Y así sucesivamente para obtener la matriz completa.

💡 Visualízalo así: Cada elemento del producto es como un "resumen" de cómo una fila de la primera matriz se relaciona con una columna de la segunda matriz.

Continuación del producto matricial

Siguiendo con nuestro ejemplo anterior, completemos el cálculo de la matriz producto $C = A \times B$:

Para $c_{12}$, multiplicamos la primera fila de A por la segunda columna de B: $c_{12} = (-4 \times -2) + (0 \times 6) + (1 \times 4) = 8 + 0 + 4 = 12$

Para $c_{22}$, multiplicamos la segunda fila de A por la segunda columna de B: $c_{22} = (1 \times -2) + (5 \times 6) + (3 \times 4) = -2 + 30 + 12 = 40$

Por lo tanto, la matriz resultante es: $C_{2x2} = \begin{bmatrix} -8 & 12 \ 42 & 40 \end{bmatrix}$

El producto matricial tiene aplicaciones en muchos campos como la física, la economía, la ingeniería y la computación gráfica.

A diferencia de la multiplicación con números, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, generalmente $A \times B \neq B \times A$.

💡 Consejo importante: Antes de intentar multiplicar dos matrices, siempre verifica que sean conformables revisando sus dimensiones. Si A es de orden mxp y B es de orden pxn, entonces el producto AB será posible y resultará en una matriz de orden mxn.

Matriz transpuesta

La matriz transpuesta es un concepto importante que "voltea" una matriz sobre su diagonal principal. Si A es una matriz de orden mxn, su transpuesta A^t será de orden nxm.

Para obtener la transpuesta de una matriz:

1. Las filas de la matriz original se convierten en las columnas de la transpuesta
2. Las columnas de la matriz original se convierten en las filas de la transpuesta

Por ejemplo, si tenemos: $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ -6 & 11 \ 10 & 2 \end{bmatrix}$

Su transpuesta será: $N^t = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 10 \ 0 & 11 & 2 \end{bmatrix}$

La transpuesta tiene propiedades interesantes:

• $(A+B)^t = A^t + B^t$
• $(AB)^t = B^t A^t$
• $(A^t)^t = A$

💡 Truco visual: Puedes pensar en la transpuesta como si "giraras" la matriz sobre su diagonal principal, como reflejándola en un espejo colocado en esa diagonal.