Introducción a las Funciones

Las funciones matemáticas son la manera más útil de describir situaciones del mundo real donde una cantidad varía o depende de otra. Cuando modelamos fenómenos reales mediante funciones, podemos analizar y predecir su comportamiento.

Por ejemplo, en economía, la función demanda de un producto depende del precio al que se ofrece en el mercado. Esta relación donde una variable (demanda) depende de otra (precio) es una función real de variable real. Aunque existen funciones que dependen de varias variables (multivariadas), en este curso nos enfocaremos en funciones de una sola variable.

El plano cartesiano es fundamental para representar funciones. Está formado por dos rectas perpendiculares (ejes) que se intersectan en el origen de coordenadas: el eje horizontal de abscisas (eje x) y el eje vertical de ordenadas (eje y). Cada punto se representa mediante un par ordenado (x,y), donde x es la abscisa y y es la ordenada.

💡 Cuando interpretes un gráfico, pregúntate: ¿Qué información proporciona? ¿Qué variables se relacionan y cómo están expresadas? ¿Qué significan las variaciones que observas?

Los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro cuadrantes numerados en sentido antihorario:

• Primer cuadrante (I): x > 0, y > 0
• Segundo cuadrante (II): x < 0, y > 0
• Tercer cuadrante (III): x < 0, y < 0
• Cuarto cuadrante (IV): x > 0, y < 0

Concepto de Función

Una función real de variable real es una correspondencia que asigna a cada número real de un conjunto D un único número real. Las funciones suelen representarse con letras como f, g, F, G, etc., y se simbolizan como f: D → R.

Si f es una función definida de D → R, entonces el elemento y ∈ R que se asigna al elemento x ∈ D se simboliza f$x$ (léase "f de x") y se denomina el valor o imagen de x a través de f.

El dominio (Dom$f$) es el conjunto de números reales para los que está definida la función. La imagen o rango (Im$f$) es el conjunto formado por todos los números reales que son imagen de al menos un elemento del dominio.

Ejemplo en economía:

Si un capital de $1000 gana un interés simple a una tasa anual del 6%, la relación entre el interés y el tiempo está dada por:

I$t$ = 1000(0.06)t

donde t es el tiempo en años y I es el interés en pesos.

Si t = ½, entonces I(½) = 1000(0.06)(½) = 30

Esta fórmula asigna al valor de entrada t = ½ un único valor de salida I = 30, lo que constituye una función.

En aplicaciones reales, el dominio y la imagen de una función pueden estar restringidos por las condiciones del problema. Por ejemplo, si una función representa la demanda de un artículo en función del precio, el dominio debe restringirse a valores no negativos, ya que un precio negativo no tendría sentido económico.

Gráfica de una Función

La gráfica de una función f: D → R es el conjunto de puntos (xi, yi) del plano donde xi ∈ D y yi = f(xi). Esta representación visual nos permite analizar el comportamiento de la función.

Para representar gráficamente una función y = f$x$, debemos:

1. Identificar el tipo de curva (recta, parábola, hipérbola, etc.)
2. Determinar puntos característicos (máximos, mínimos, intersecciones con los ejes, etc.)
3. Construir una tabla de valores estratégicamente elegidos
4. Unir los puntos con una curva continua

💡 Para obtener información precisa de una gráfica, presta atención a la información numérica en cada eje y a la escala utilizada.

Características Globales de las Funciones

Las funciones pueden presentar diferentes comportamientos en distintos tramos de su dominio:

Intersección con los ejes coordenados:

• Con el eje x: Son puntos de la forma (x,0) y se obtienen igualando la función a cero: f$x$ = 0. Los valores de x que satisfacen esta ecuación se llaman ceros o raíces de la función.
• Con el eje y: Es el punto (0,f(0)) y se denomina ordenada al origen.

Crecimiento y decrecimiento:

• Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si para x₁ < x₂ se cumple f(x₁) < f(x₂). Gráficamente, la curva asciende al recorrerla de izquierda a derecha.
• Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b) si para x₁ < x₂ se cumple f(x₁) > f(x₂). Gráficamente, la curva desciende al recorrerla de izquierda a derecha.

Características de las Funciones

Intervalos de positividad y negatividad:

• Una función es positiva en un intervalo (a,b) si f$x$ > 0 para todo x ∈ (a,b). Gráficamente, la función está por encima del eje x.
• Una función es negativa en un intervalo (a,b) si f$x$ < 0 para todo x ∈ (a,b). Gráficamente, la función está por debajo del eje x.

Ejemplo en economía:

Si una empresa fabrica y vende x cantidades de un producto con una función beneficio B$x$ = x - 600, la empresa obtendrá ganancias cuando B$x$ > 0, es decir, cuando x > 600. Por tanto, deben fabricarse y venderse más de 600 unidades del producto para generar beneficios.

Función acotada:

• Una función está acotada inferiormente en un intervalo (a,b) si existe un número m tal que f$x$ ≥ m para todo x ∈ (a,b). Gráficamente, la función está por encima de la recta y = m.
• Una función está acotada superiormente en un intervalo (a,b) si existe un número M tal que f$x$ ≤ M para todo x ∈ (a,b). Gráficamente, la función está por debajo de la recta y = M.
• Una función está acotada cuando está acotada superior e inferiormente.

Función periódica: Una función es periódica de período p si f$x+p$ = f$x$ para todo x en su dominio. Esto significa que los valores de la función se repiten cada p unidades.

💡 Las funciones periódicas son muy útiles para representar fenómenos cíclicos en física y economía, como fluctuaciones estacionales o ciclos económicos.

Funciones económicas importantes:

• Función Costo Total: CT$q$ = CF + CV$q$, representa el costo de producir q unidades.
• Función Ingreso Total: I$q$ = p·q, representa los ingresos por vender q unidades a precio p.
• Función Beneficio: B$q$ = I$q$ - C$q$, representa la ganancia o pérdida.

Álgebra de Funciones

Podemos combinar funciones para crear nuevas mediante operaciones algebraicas. Estas operaciones son especialmente útiles en aplicaciones económicas, como cuando combinamos funciones de costo e ingreso para obtener la función beneficio.

Dadas dos funciones f y g, podemos definir:

• Suma: f + g$$x = f$x$ + g$x$
• Resta: f - g$$x = f$x$ - g$x$
• Producto: (f·g)$x$ = f$x$·g$x$
• Cociente: (f/g)$x$ = f$x$/g$x$, siempre que g$x$ ≠ 0

El dominio de estas nuevas funciones es la intersección de los dominios de f y g: Dom$f$ ∩ Dom$g$. En el caso del cociente, además debemos excluir los valores donde g$x$ = 0.

Ejemplo:

Si f$x$ = x y g$x$ = 1/x, entonces:

• f + g$$x = x + 1/x = $x² + 1$/x
• El dominio será R - {0}

Aplicación a la economía:

Si una empresa tiene una función de ingreso I$x$ = 30x - x²/20 y una función de costo CT$x$ = 550 + 10x, la función beneficio será: B$x$ = I$x$ - CT$x$ = 30x - x²/20 - $550 + 10x$ = -x²/20 + 20x - 550

Composición de Funciones

Otra forma de combinar funciones es mediante la composición. Dadas dos funciones f y g, la función compuesta (g∘f) se define como: (g∘f)$x$ = g(f$x$)

Para aplicar esta operación, el valor de f$x$ debe estar en el dominio de g. El dominio de g∘f es el conjunto de todos los x que pertenecen al dominio de f, tales que f$x$ pertenezca al dominio de g.

💡 En la composición, el orden importa. Generalmente (g∘f)$x$ ≠ (f∘g)$x$, es decir, la composición no es conmutativa.

Composición de Funciones y Aplicaciones

Ejemplo:

Si f$x$ = $x-3$/$x+1$ y g$x$ = 1/x, entonces:

• (f∘g)$x$ = f(g$x$) = f$1/x$ = $(1/x)-3$/$(1/x)+1$ = $1-3x$/$1+x$

• Dom(f∘g) = R - {-1, 0}

• (g∘f)$x$ = g(f$x$) = 1/$(x-3)/(x+1)$ = $x+1$/$x-3$

• Dom(g∘f) = R - {-1, 3}

Aplicación en economía:

Si el ingreso mensual I por un artículo es función del precio p según I = 300p - 2p², y la demanda x está relacionada con el precio mediante x = 300 - 2p, podemos expresar el ingreso como función de la demanda:

1. Despejamos p de la relación de demanda: p = $300-x$/2
2. Sustituimos este valor en la función de ingreso: I = 300$(300-x)/2$ - 2$(300-x)/2$² I = 150$300-x$ - 0.5$300-x$² I = 150x - 0.5x²

Esta función compuesta nos permite analizar directamente cómo depende el ingreso de la demanda.

Función Inversa

Antes de definir la función inversa, necesitamos entender qué es una función uno a uno (inyectiva).

Una función f: A → B es inyectiva o uno a uno si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. Formalmente, si x₁ ≠ x₂ entonces f(x₁) ≠ f(x₂).

Gráficamente, podemos verificar si una función es inyectiva mediante el "test de la recta horizontal": si cualquier recta horizontal intersecta la gráfica en a lo más un punto, entonces la función es inyectiva.

Función Inversa

Solo las funciones inyectivas tienen función inversa. Si f: A → B es una función inyectiva, su función inversa f⁻¹: B → A cumple que:

• f(f⁻¹$x$) = x para todo x en el dominio de f⁻¹
• f⁻¹(f$x$) = x para todo x en el dominio de f

Importante: En la notación f⁻¹$x$, el "-1" no representa un exponente. No confundir f⁻¹$x$ con 1/f$x$.

Procedimiento para encontrar la función inversa:

1. Escribir y = f$x$
2. Intercambiar las variables x e y
3. Despejar y en términos de x
4. La función resultante es y = f⁻¹$x$

Ejemplo:

Para la función f$x$ = 2x + 10:

1. y = 2x + 10
2. Intercambiamos: x = 2y + 10
3. Despejamos y: y = $x-10$/2
4. Por tanto, f⁻¹$x$ = $x-10$/2

Relación entre las gráficas de f y f⁻¹:

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta y = x (la bisectriz del primer y tercer cuadrante).

Aplicación en economía:

En economía, la función de demanda relaciona el precio p con la cantidad demandada q. Si tenemos q = f$p$ = 360 - 20p, su función inversa será p = f⁻¹$q$ = $360-q$/20 = 18 - q/20.

En los gráficos económicos, es común representar el precio en el eje vertical y la cantidad en el horizontal, lo que corresponde a graficar la función inversa de la demanda.

💡 La función inversa te permite cambiar de perspectiva en el análisis económico: pasar de "¿qué cantidad se demanda a cierto precio?" a "¿qué precio generaría cierta demanda?"

Funciones Elementales

Las funciones elementales se clasifican en:

1. Algebraicas:

   • Polinómicas (lineal, cuadrática)
   • Racionales
   • Irracionales

2. Trascendentes:

   • Exponencial
   • Logarítmica
   • Trigonométricas

Función Lineal

La función lineal se aplica en diversas situaciones, especialmente como modelo aproximado de datos discretos. En economía, se utiliza para representar costos totales, depreciación lineal, y leyes de oferta y demanda.

Definición: Una función f: R → R es lineal si tiene la forma f$x$ = mx + b, donde m y b son constantes.

• La gráfica es una recta.
• El dominio y la imagen son R si m ≠ 0.
• b es la ordenada al origen (donde la recta corta el eje y).
• m es la pendiente de la recta, que indica su inclinación.

La pendiente se calcula como: m = tg α = $y₁ - y₀$/$x₁ - x₀$

Casos particulares:

1. Función identidad: f$x$ = x $m = 1, b = 0$

   • Pasa por el origen
   • Tiene inclinación de 45°
   • Es creciente en todo su dominio
   • Es positiva para x > 0 y negativa para x < 0

2. Función constante: f$x$ = b $m = 0$

   • Es una recta horizontal
   • Su dominio es R y su imagen es {b}

Ecuaciones de la Recta

Existen diferentes formas de expresar la ecuación de una recta:

1. Ecuación que pasa por dos puntos (x₀, y₀) y (x₁, y₁): $y - y₁$/$y₀ - y₁$ = $x - x₁$/$x₀ - x₁$

2. Ecuación punto-pendiente (dada la pendiente m y un punto (x₁, y₁)): y - y₁ = m$x - x₁$

3. Ecuación general o implícita: Ax + By + C = 0 (donde B ≠ 0)

4. Ecuación segmentaria (dadas sus intersecciones con los ejes): x/p + y/q = 1 Donde p es la intersección con el eje x y q con el eje y.

Rectas paralelas y perpendiculares:

• Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente: m₁ = m₂
• Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y de signo opuesto: m₁ = -1/m₂

Aplicación en economía:

Si la oferta de un artículo es lineal, y sabemos que a un precio de $6 no hay unidades ofrecidas, pero a$8 se ofrecen 56 unidades, podemos hallar la función oferta:

Usando la ecuación punto-pendiente con P(6,0) y Q(8,56): y - 0 = (56-0)/(8-6) y = 28x - 168

Por tanto, la función oferta es q = 28p - 168, donde p es el precio y q la cantidad ofrecida.

Otro ejemplo: Si el costo de fabricar un artículo es $2000 por unidad y el costo fijo diario es$35000, la función de costo total será: C$x$ = 2000x + 35000

Para fabricar 25 artículos, el costo sería: C(25) = 2000·25 + 35000 = $85000

Función Cuadrática

Definición: Una función cuadrática tiene la forma f$x$ = ax² + bx + c, donde a ≠ 0.

Esta función también puede expresarse como:

• Forma canónica: f$x$ = a$x-xᵥ$² + yᵥ, donde (xᵥ, yᵥ) son las coordenadas del vértice.
• Forma factorizada: f$x$ = ax-x₁$$x-x₂, donde x₁ y x₂ son los ceros de la función.

Características importantes:

• La abscisa del vértice es xᵥ = -b/2a o xᵥ = $x₁+x₂$/2
• El eje de simetría es la recta vertical x = -b/2a
• La parábola corta el eje y en el punto (0,c)
• Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo
• Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es un máximo
• La imagen de la función es [yᵥ,∞) si a > 0, o (-∞,yᵥ] si a < 0

Aplicación en economía:

Si el beneficio B (en miles de pesos) por fabricar y vender x unidades de un producto está dado por B$x$ = 60x - x², podemos:

1. Determinar el número de unidades que maximizan el beneficio: xᵥ = -60/2$-1$ = 30 unidades

2. Calcular el beneficio máximo: B(30) = 60·30 - 30² = 900 mil pesos

Función Racional

Definición: Una función racional tiene la forma f$x$ = g$x$/h$x$, donde g$x$ y h$x$ son polinomios y h$x$ es de grado ≥ 1.

El dominio de una función racional son todos los números reales excepto los ceros del denominador h$x$.

💡 Las funciones racionales suelen tener asíntotas verticales donde el denominador se anula, y asíntotas horizontales u oblicuas cuando x tiende a infinito.