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240
•
11 de dic de 2025
•
celeste martinez
@celestema_j2sik
El cálculo diferencial nos permite analizar cómo cambian las funciones.... Mostrar más
¿Alguna vez te preguntaste qué pasa cuando una función trigonométrica se acerca a cero? El límite fundamental trigonométrico nos dice que cuando x se acerca a cero, sen(x)/x tiende a 1. Este concepto es súper útil para resolver muchos problemas.
Cuando trabajamos con variaciones de este límite, podemos aplicar propiedades para simplificar. Por ejemplo, si tenemos lim(x→0) sen(6x)/x, podemos reescribirlo como lim(x→0) 3·sen(6x)/(6x) · 6 = 3·1·6 = 3.
Para funciones más complejas, podemos separar los límites y aplicar sustituciones. Recuerda que las identidades trigonométricas como sen²x + cos²x = 1 o sen²x = 1-cos²x son herramientas poderosas para transformar expresiones.
💡 Truco útil: Cuando te enfrentes a límites con funciones trigonométricas, intenta identificar el patrón del límite fundamental sen(x)/x = 1. A menudo puedes reorganizar la expresión para aprovecharlo.
La continuidad de una función en un punto requiere tres condiciones: que la función esté definida en ese punto, que exista el límite finito cuando x se aproxima al punto, y que el valor de la función en ese punto coincida con el límite.
Las discontinuidades pueden ser de dos tipos: evitables (cuando el límite existe pero la función no es continua) o no evitables (cuando el límite no existe o es infinito). Las no evitables pueden ser de tipo salto o infinito, dependiendo de los límites laterales.
La derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función. Matemáticamente, se define como: f'(x₀) = lim(h→0) /h
Cuando calculamos derivadas, trabajamos con un límite indeterminado del tipo 0/0. Por ejemplo, para f(x)=x², f'(1) = lim(h→0) /h = lim(h→0) /h = lim(h→0) = 2.
💡 Consejo clave: Para calcular derivadas desde la definición, siempre manipula algebraicamente el límite hasta eliminar la indeterminación, factorizando o aplicando productos notables cuando sea necesario.
Para que una función sea derivable en un punto, sus derivadas laterales (por la izquierda y por la derecha) deben existir y ser iguales. Si son diferentes, la función no es derivable en ese punto, lo que ocurre típicamente en picos o esquinas de una gráfica.
La función derivada f'(x) nos da la derivada para cualquier punto x del dominio. Afortunadamente, no necesitamos calcular cada derivada desde cero, ya que existen reglas de derivación que facilitan enormemente nuestro trabajo.
Algunas reglas básicas de derivación incluyen:
Para funciones inversas, si y = f⁻¹(x), entonces (f⁻¹)'(x) = 1/f'(f⁻¹(x)) siempre que f'(x) ≠ 0.
💡 Recuerda: Memorizar estas reglas básicas te ahorrará muchísimo tiempo. Son como piezas de LEGO que puedes combinar para resolver problemas más complejos.
La regla de la cadena es una herramienta fundamental para derivar funciones compuestas. Si y = g(f(x)), entonces y' = g'(f(x))·f'(x). Esto significa que derivamos la función externa y multiplicamos por la derivada de la interna.
Veamos algunos ejemplos prácticos:
Las derivadas sucesivas son simplemente derivadas de derivadas. La segunda derivada f''(x) es la derivada de f'(x), la tercera f'''(x) es la derivada de f''(x), y así sucesivamente. Estas son especialmente útiles para analizar la concavidad de funciones y en aplicaciones físicas como aceleración.
💡 Consejo práctico: Cuando apliques la regla de la cadena, identifica claramente cuál es la función externa y cuál la interna. Dibuja un diagrama si es necesario para visualizar la estructura de la composición.
La derivación implícita nos permite encontrar derivadas cuando las variables están relacionadas por una ecuación, sin necesidad de despejar explícitamente. Simplemente derivamos ambos lados de la ecuación respecto a la variable independiente y luego despejamos la derivada buscada.
Cuando una función tiene la forma y = ^, podemos usar la derivación logarítmica. Tomamos logaritmo natural en ambos lados: ln(y) = h(x)·ln(g(x)), y luego derivamos esta expresión más simple.
La recta tangente a una curva en un punto tiene pendiente igual a la derivada de la función en ese punto. Su ecuación es y-y₀ = f'(x₀). La recta normal es perpendicular a la tangente, con pendiente m_n = -1/m_t.
El diferencial de una función dy = f'(x)·dx representa el cambio aproximado de la función cuando x cambia en una cantidad pequeña dx. Es una herramienta útil para aproximaciones y cálculos de error.
La Regla de L'Hôpital nos permite resolver límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞ reemplazando el límite del cociente por el límite del cociente de las derivadas.
💡 Estrategia clave: Ante un problema de derivación complejo, identifica qué técnica especial se adapta mejor: derivación implícita para ecuaciones, logarítmica para exponentes variables, o L'Hôpital para límites indeterminados.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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celeste martinez
@celestema_j2sik
El cálculo diferencial nos permite analizar cómo cambian las funciones. En estas notas exploraremos desde límites trigonométricos fundamentales hasta técnicas de derivación, herramientas esenciales que te permitirán resolver problemas matemáticos complejos de manera eficiente.
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¿Alguna vez te preguntaste qué pasa cuando una función trigonométrica se acerca a cero? El límite fundamental trigonométrico nos dice que cuando x se acerca a cero, sen(x)/x tiende a 1. Este concepto es súper útil para resolver muchos problemas.
Cuando trabajamos con variaciones de este límite, podemos aplicar propiedades para simplificar. Por ejemplo, si tenemos lim(x→0) sen(6x)/x, podemos reescribirlo como lim(x→0) 3·sen(6x)/(6x) · 6 = 3·1·6 = 3.
Para funciones más complejas, podemos separar los límites y aplicar sustituciones. Recuerda que las identidades trigonométricas como sen²x + cos²x = 1 o sen²x = 1-cos²x son herramientas poderosas para transformar expresiones.
💡 Truco útil: Cuando te enfrentes a límites con funciones trigonométricas, intenta identificar el patrón del límite fundamental sen(x)/x = 1. A menudo puedes reorganizar la expresión para aprovecharlo.
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La continuidad de una función en un punto requiere tres condiciones: que la función esté definida en ese punto, que exista el límite finito cuando x se aproxima al punto, y que el valor de la función en ese punto coincida con el límite.
Las discontinuidades pueden ser de dos tipos: evitables (cuando el límite existe pero la función no es continua) o no evitables (cuando el límite no existe o es infinito). Las no evitables pueden ser de tipo salto o infinito, dependiendo de los límites laterales.
La derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función. Matemáticamente, se define como: f'(x₀) = lim(h→0) /h
Cuando calculamos derivadas, trabajamos con un límite indeterminado del tipo 0/0. Por ejemplo, para f(x)=x², f'(1) = lim(h→0) /h = lim(h→0) /h = lim(h→0) = 2.
💡 Consejo clave: Para calcular derivadas desde la definición, siempre manipula algebraicamente el límite hasta eliminar la indeterminación, factorizando o aplicando productos notables cuando sea necesario.
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Para que una función sea derivable en un punto, sus derivadas laterales (por la izquierda y por la derecha) deben existir y ser iguales. Si son diferentes, la función no es derivable en ese punto, lo que ocurre típicamente en picos o esquinas de una gráfica.
La función derivada f'(x) nos da la derivada para cualquier punto x del dominio. Afortunadamente, no necesitamos calcular cada derivada desde cero, ya que existen reglas de derivación que facilitan enormemente nuestro trabajo.
Algunas reglas básicas de derivación incluyen:
Para funciones inversas, si y = f⁻¹(x), entonces (f⁻¹)'(x) = 1/f'(f⁻¹(x)) siempre que f'(x) ≠ 0.
💡 Recuerda: Memorizar estas reglas básicas te ahorrará muchísimo tiempo. Son como piezas de LEGO que puedes combinar para resolver problemas más complejos.
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La regla de la cadena es una herramienta fundamental para derivar funciones compuestas. Si y = g(f(x)), entonces y' = g'(f(x))·f'(x). Esto significa que derivamos la función externa y multiplicamos por la derivada de la interna.
Veamos algunos ejemplos prácticos:
Las derivadas sucesivas son simplemente derivadas de derivadas. La segunda derivada f''(x) es la derivada de f'(x), la tercera f'''(x) es la derivada de f''(x), y así sucesivamente. Estas son especialmente útiles para analizar la concavidad de funciones y en aplicaciones físicas como aceleración.
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La derivación implícita nos permite encontrar derivadas cuando las variables están relacionadas por una ecuación, sin necesidad de despejar explícitamente. Simplemente derivamos ambos lados de la ecuación respecto a la variable independiente y luego despejamos la derivada buscada.
Cuando una función tiene la forma y = ^, podemos usar la derivación logarítmica. Tomamos logaritmo natural en ambos lados: ln(y) = h(x)·ln(g(x)), y luego derivamos esta expresión más simple.
La recta tangente a una curva en un punto tiene pendiente igual a la derivada de la función en ese punto. Su ecuación es y-y₀ = f'(x₀). La recta normal es perpendicular a la tangente, con pendiente m_n = -1/m_t.
El diferencial de una función dy = f'(x)·dx representa el cambio aproximado de la función cuando x cambia en una cantidad pequeña dx. Es una herramienta útil para aproximaciones y cálculos de error.
La Regla de L'Hôpital nos permite resolver límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞ reemplazando el límite del cociente por el límite del cociente de las derivadas.
💡 Estrategia clave: Ante un problema de derivación complejo, identifica qué técnica especial se adapta mejor: derivación implícita para ecuaciones, logarítmica para exponentes variables, o L'Hôpital para límites indeterminados.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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