Matemáticas
15 de dic de 2025
96
5 páginas
Ludmi Ojeda @ludmiojeda
Los números reales son la base fundamental del álgebra y la geometría analítica. En esta unidad exploraremos sus... Mostrar más
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números con características comunes que podemos definir por extensión (listando todos los elementos) o por comprensión (describiendo una propiedad). Entre ellos encontramos
Los números naturales que usamos para contar, los números enteros , los números racionales (Q) que se expresan como cociente de enteros, y los números irracionales (I) como π o √2 que tienen decimales infinitos no periódicos. Juntos, racionales e irracionales forman los números reales (R).
Las relaciones clave entre elementos y conjuntos son la pertenencia (∈) y la inclusión (⊂). Por ejemplo, 3 ∈ N indica que 3 pertenece a los naturales, mientras que N ⊂ Z significa que los naturales están incluidos en los enteros.
💡 Un truco para recordar la jerarquía N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Cada conjunto contiene al anterior y agrega nuevos elementos, como una muñeca rusa matemática.
La recta numérica nos permite visualizar los números reales, donde cada punto corresponde a un único número real y viceversa. La propiedad de completitud garantiza que la recta no tiene "huecos" – entre dos números reales siempre existen infinitos números.
Las operaciones fundamentales con números reales cumplen propiedades importantes
La suma es conmutativa , asociativa, tiene al 0 como elemento neutro y cada número tiene su opuesto. Por su parte, la multiplicación es conmutativa, asociativa, tiene al 1 como elemento neutro y cada número distinto de cero tiene su inverso multiplicativo.
Los intervalos representan subconjuntos de números reales con cierta propiedad. Podemos tener intervalos abiertos (a, b), cerrados o semiabiertos como (a, b] y [a, b). La amplitud de un intervalo es la diferencia entre sus extremos .
🔍 Visualizar intervalos en la recta numérica te ayudará enormemente a entender su significado. Por ejemplo, incluye todos los puntos entre -3 y 3, incluidos ambos extremos.
El valor absoluto de un número real representa su distancia al origen en la recta numérica. Se define como |a| = a si a ≥ 0, y |a| = -a si a < 0. Es una herramienta poderosa para resolver diversos problemas matemáticos.
Entre las propiedades más importantes del valor absoluto tenemos
Estas propiedades nos permiten resolver inecuaciones con valor absoluto como |x| ≤ 2, cuya solución es x ∈ , o |x| ≥ 4, que equivale a x ∈ (-∞, -4] ∪ [4, ∞).
🎯 Cuando resuelvas inecuaciones con valor absoluto, recuerda |x| < a significa que x está a menos de "a" unidades del origen , mientras que |x| > a significa que x está a más de "a" unidades del origen .
Un entorno E(c; a) es un intervalo abierto centrado en un punto c con radio a, que incluye todos los puntos cuya distancia a c es menor que a. Matemáticamente lo expresamos como E(c; a) = {x ∈ R / |x - c| < a} = .
La interpretación geométrica de las inecuaciones con valor absoluto es fundamental
Para intervalos centrados en puntos distintos del origen
Estas representaciones son especialmente útiles cuando trabajamos con problemas de proximidad en la recta real.
🔄 Un truco mental cuando veas |x - c|, piensa "distancia desde x hasta c". Así, |x - c| < a significa "todos los puntos cuya distancia a c es menor que a".
El entorno reducido E'(c; a) es como un entorno normal pero excluyendo el punto central E'(c; a) = {x ∈ R / 0 < |x - c| < a}. Un punto de acumulación de un conjunto es aquel punto cuyo entorno reducido siempre contiene al menos un elemento del conjunto.
Para analizar conjuntos de números reales, utilizamos conceptos de cotas y extremos
Veamos un ejemplo práctico Para resolver 3x - 7 < 3
💪 Reconocer si un intervalo constituye un entorno te ayudará a simplificar muchos problemas. Recuerda que todo entorno es un intervalo abierto y simétrico respecto a su centro.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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Sara
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Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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Ludmi Ojeda
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Los números reales son la base fundamental del álgebra y la geometría analítica. En esta unidad exploraremos sus características, propiedades y operaciones, así como los conceptos de intervalos, valor absoluto y entornos que te permitirán resolver problemas matemáticos con mayor... Mostrar más
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Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números con características comunes que podemos definir por extensión (listando todos los elementos) o por comprensión (describiendo una propiedad). Entre ellos encontramos:
Los números naturales que usamos para contar, los números enteros , los números racionales (Q) que se expresan como cociente de enteros, y los números irracionales (I) como π o √2 que tienen decimales infinitos no periódicos. Juntos, racionales e irracionales forman los números reales (R).
Las relaciones clave entre elementos y conjuntos son la pertenencia (∈) y la inclusión (⊂). Por ejemplo, 3 ∈ N indica que 3 pertenece a los naturales, mientras que N ⊂ Z significa que los naturales están incluidos en los enteros.
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Las operaciones fundamentales con números reales cumplen propiedades importantes:
La suma es conmutativa , asociativa, tiene al 0 como elemento neutro y cada número tiene su opuesto. Por su parte, la multiplicación es conmutativa, asociativa, tiene al 1 como elemento neutro y cada número distinto de cero tiene su inverso multiplicativo.
Los intervalos representan subconjuntos de números reales con cierta propiedad. Podemos tener intervalos abiertos (a, b), cerrados o semiabiertos como (a, b] y [a, b). La amplitud de un intervalo es la diferencia entre sus extremos .
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El valor absoluto de un número real representa su distancia al origen en la recta numérica. Se define como |a| = a si a ≥ 0, y |a| = -a si a < 0. Es una herramienta poderosa para resolver diversos problemas matemáticos.
Entre las propiedades más importantes del valor absoluto tenemos:
Estas propiedades nos permiten resolver inecuaciones con valor absoluto como |x| ≤ 2, cuya solución es x ∈ , o |x| ≥ 4, que equivale a x ∈ (-∞, -4] ∪ [4, ∞).
🎯 Cuando resuelvas inecuaciones con valor absoluto, recuerda: |x| < a significa que x está a menos de "a" unidades del origen , mientras que |x| > a significa que x está a más de "a" unidades del origen .
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La interpretación geométrica de las inecuaciones con valor absoluto es fundamental:
Para intervalos centrados en puntos distintos del origen:
Estas representaciones son especialmente útiles cuando trabajamos con problemas de proximidad en la recta real.
🔄 Un truco mental: cuando veas |x - c|, piensa "distancia desde x hasta c". Así, |x - c| < a significa "todos los puntos cuya distancia a c es menor que a".
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El entorno reducido E'(c; a) es como un entorno normal pero excluyendo el punto central: E'(c; a) = {x ∈ R / 0 < |x - c| < a}. Un punto de acumulación de un conjunto es aquel punto cuyo entorno reducido siempre contiene al menos un elemento del conjunto.
Para analizar conjuntos de números reales, utilizamos conceptos de cotas y extremos:
Veamos un ejemplo práctico: Para resolver 3x - 7 < 3:
💪 Reconocer si un intervalo constituye un entorno te ayudará a simplificar muchos problemas. Recuerda que todo entorno es un intervalo abierto y simétrico respecto a su centro.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
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Kitty
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Pablo
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Elena
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Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
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