Introducción a Vectores

Un vector es un segmento orientado caracterizado por tres elementos clave: dirección, sentido y módulo. A diferencia de las magnitudes escalares (como temperatura o masa) que solo requieren un número para ser descritas, los vectores necesitan estos tres elementos para estar completamente definidos.

La dirección de un vector corresponde a la recta que lo contiene o cualquier paralela a ella. El sentido indica la orientación sobre esa dirección (representado con una punta de flecha), mientras que el módulo (o longitud) es la distancia entre sus puntos extremos. El módulo de un vector $\vec{u}$ se denota como $|\vec{u}|$ y siempre es un número positivo (excepto el vector nulo).

Dos vectores son iguales cuando tienen la misma dirección, mismo sentido y mismo módulo. Esta definición permite que los vectores puedan trasladarse paralelamente a sí mismos manteniendo sus características, por eso se les llama vectores libres.

💡 Es importante distinguir entre los tres tipos de vectores: libres (los más comunes), deslizantes (importantes para fuerzas en cuerpos rígidos) y fijos (usados para representar fuerzas en cuerpos deformables). En este curso nos enfocaremos principalmente en los vectores libres.

Suma de Vectores

La suma de vectores nos permite combinar sus efectos, como cuando dos fuerzas actúan sobre un objeto. Si tienes dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, puedes sumarlos siguiendo la ley del paralelogramo.

Existen dos formas equivalentes para sumar vectores:

1. Coloca el origen de $\vec{v}$ en el extremo de $\vec{u}$. El vector suma $\vec{u}+\vec{v}$ tendrá por origen el de $\vec{u}$ y por extremo el de $\vec{v}$.
2. Dibuja ambos vectores desde un origen común y construye un paralelogramo. La diagonal que parte del origen será el vector suma.

La suma de vectores cumple propiedades fundamentales:

• Asociatividad: $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$
• Conmutatividad: $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$
• Existencia de elemento neutro: $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$
• Existencia de elemento opuesto: Para cada $\vec{u}$ existe $-\vec{u}$ tal que $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$

La diferencia entre vectores se define como: $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$. Gráficamente, si colocas $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con orígenes coincidentes, el vector $\vec{u}-\vec{v}$ tiene por origen el extremo de $\vec{v}$ y por extremo el de $\vec{u}$.

💡 La magnitud de un vector suma está limitada por: $||\vec{u}|-|\vec{v}||\leq|\vec{u}±\vec{v}|\leq|\vec{u}|+|\vec{v}|$. Esto significa que el vector resultante nunca puede ser mayor que la suma de las magnitudes ni menor que la diferencia de las mismas.

Producto de un Vector por un Escalar

Cuando multiplicamos un vector $\vec{u}$ por un número real (escalar) $a$, obtenemos un nuevo vector $a\vec{u}$ con las siguientes características:

• Módulo: $|a\vec{u}| = |a||\vec{u}|$ (el módulo se multiplica por el valor absoluto del escalar)
• Dirección: $a\vec{u}$ es paralelo a $\vec{u}$ (mantiene la misma dirección)
• Sentido:
  • Si $a > 0$, el sentido es el mismo que $\vec{u}$
  • Si $a < 0$, el sentido es opuesto al de $\vec{u}$

Esta operación cumple propiedades importantes:

• Distributividad: $a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ y $(a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$
• Asociatividad: $a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}$
• Elemento unitario: $1\vec{u} = \vec{u}$

Dos vectores no nulos son paralelos si y solo si uno puede expresarse como producto del otro por un escalar no nulo: $\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \exists a \in \mathbb{R}-{0}$ tal que $\vec{u} = a\vec{v}$.

Si $\vec{u}$ es un vector no nulo, podemos obtener su versor asociado (vector unitario en la misma dirección y sentido) mediante: $\vec{u}_0 = \frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$. Los versores son fundamentales pues representan "direcciones puras".

💡 Cuando multiplicamos un vector por -1, obtenemos su vector opuesto: $(-1)\vec{u} = -\vec{u}$. Esta operación conserva el módulo y la dirección, pero invierte el sentido, lo que resulta útil para representar fuerzas o velocidades en sentidos contrarios.

Descomposición según una Base y Componentes

Cualquier vector del plano puede expresarse como una combinación lineal de dos vectores no paralelos (base). En el espacio, se necesitan tres vectores no coplanares. Por ejemplo, el vector $\vec{c} = \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b}$ es una combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$.

La base canónica es particularmente útil:

• En el plano: versores $\vec{i}$ y $\vec{j}$ perpendiculares entre sí
• En el espacio: versores $\vec{i}$, $\vec{j}$ y $\vec{k}$ perpendiculares entre sí de a pares

Cualquier vector $\vec{a}$ puede descomponerse de forma única como:

• En el plano: $\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} = (a_1, a_2)$
• En el espacio: $\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} = (a_1, a_2, a_3)$

Los números $a_1$, $a_2$, $a_3$ son las componentes escalares del vector, mientras que $a_1\vec{i}$, $a_2\vec{j}$, $a_3\vec{k}$ son sus componentes vectoriales. Estas componentes representan las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados.

Para encontrar las componentes de un vector entre dos puntos: Si $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ son dos puntos en el plano, entonces: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$

💡 Un vector de componentes $(a_1, a_2)$ tiene módulo $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$. Esta fórmula es una aplicación directa del teorema de Pitágoras y es fundamental para calcular la magnitud de cualquier vector a partir de sus componentes.

Ángulos y Proyecciones

El ángulo entre dos vectores no nulos $\vec{u}$ y $\vec{v}$, denotado $\widehat{uv}$, es el ángulo convexo que forman cuando se colocan con orígenes coincidentes $0 \leq \widehat{uv} \leq \pi$.

La proyección de un vector $\vec{u}$ sobre un eje o sobre otro vector $\vec{v}$ nos permite descomponer su efecto en la dirección deseada:

1. Vector proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ denotado $\vec{u}_v$: Es el vector que resulta al proyectar ortogonalmente el origen y extremo de $\vec{u}$ sobre la dirección de $\vec{v}$.

2. Proyección escalar de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ denotada $u_v$: Es el valor: $u_v = |\vec{u}|\cos(\widehat{uv})$

Los ángulos directores de un vector son los ángulos que forma con los ejes coordenados. Los cosenos directores son los cosenos de estos ángulos y cumplen la relación fundamental:

• En el plano: $\cos^2\widehat{ui} + \cos^2\widehat{uj} = 1$
• En el espacio: $\cos^2\widehat{ui} + \cos^2\widehat{uj} + \cos^2\widehat{uk} = 1$

Para calcular el coseno del ángulo entre dos vectores:

• En el plano: $\cos\widehat{uv} = \frac{u_1v_1 + u_2v_2}{|\vec{u}||\vec{v}|}$
• En el espacio: $\cos\widehat{uv} = \frac{u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

💡 Las componentes de un versor coinciden exactamente con los cosenos directores del mismo. Por esto, un versor es la forma más pura de representar una dirección en el espacio.

Producto Escalar

El producto escalar (o producto interno) de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es un número real definido como:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\widehat{uv}$

Este producto puede calcularse fácilmente usando componentes:

• En el plano: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$
• En el espacio: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

El producto escalar cumple propiedades fundamentales:

• Conmutatividad: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Distributividad: $\vec{u} \cdot (\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• Asociatividad con escalares: $\alpha(\vec{u} \cdot \vec{v}) = (\alpha\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (\alpha\vec{v})$
• Positividad: $\vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0$, y $\vec{u} \cdot \vec{u} = 0$ si y solo si $\vec{u} = \vec{0}$

Una propiedad especialmente útil: dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

El producto escalar también nos permite calcular la proyección de un vector sobre otro: $u_v = \vec{u} \cdot \vec{v}_0$

💡 El producto escalar tiene importantes aplicaciones físicas: representa el trabajo realizado por una fuerza cuando se desplaza un objeto, y es fundamental en la formulación de las leyes de conservación de energía.

Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ denotado $\vec{u} \land \vec{v}$ es un nuevo vector perpendicular al plano formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$, con las siguientes características:

• Módulo: $|\vec{u} \land \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\widehat{uv}$
• Dirección: Perpendicular al plano determinado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$
• Sentido: Determinado por la regla de la mano derecha

Este producto está definido solo en el espacio tridimensional y puede calcularse mediante sus componentes: $\vec{u} \land \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$

Las propiedades principales del producto vectorial son:

• Anticonmutatividad: $\vec{u} \land \vec{v} = -(\vec{v} \land \vec{u})$
• Asociatividad con escalares: $\alpha(\vec{u} \land \vec{v}) = (\alpha\vec{u}) \land \vec{v} = \vec{u} \land (\alpha\vec{v})$
• Distributividad: $\vec{u} \land (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \land \vec{v} + \vec{u} \land \vec{w}$

Una característica importante: dos vectores no nulos son paralelos si y solo si su producto vectorial es el vector nulo: $\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \land \vec{v} = \vec{0}$

El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

💡 El producto vectorial es crucial en física para calcular momentos de fuerza (torque), momento angular y en la formulación de las leyes del electromagnetismo. También es útil para encontrar vectores perpendiculares a un plano dado.

Producto Mixto

El producto mixto de tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ es el escalar definido como: $(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u} \land \vec{v} \cdot \vec{w}$

Este producto puede calcularse directamente a partir de las componentes mediante un determinante:

$\vec{u} \land \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$

Las principales propiedades del producto mixto son:

• Invariancia en permutaciones cíclicas: $(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = (\vec{v},\vec{w},\vec{u}) = (\vec{w},\vec{u},\vec{v})$
• Cambio de signo en permutaciones no cíclicas: $(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = -(\vec{v},\vec{u},\vec{w})$
• Intercambio de operaciones: $\vec{u} \land \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{v} \land \vec{w}$

Una propiedad fundamental: tres vectores no nulos son coplanares si y solo si su producto mixto es cero: $(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = 0 \iff \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ son coplanares

El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

💡 El producto mixto tiene aplicaciones en geometría para determinar si tres vectores están en un mismo plano, calcular volúmenes y verificar si cuatro puntos en el espacio son coplanares. También es útil en mecánica para calcular momentos de inercia y en electrodinámica.