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Actualizado 19 de feb de 2026
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Juan Benitez
@juanbenit_phwug
Los polinomios son expresiones algebraicas fundamentales en el estudio del... Mostrar más
Un polinomio en x es una expresión algebraica con la forma P(x) = a₍ₙ₎x^n + a₍ₙ₋₁₎x^ + ... + a₁x + a₀, donde los coeficientes pertenecen a los números complejos (ℂ) y n es un número natural o cero.
Cada término está compuesto por un coeficiente y una variable elevada a una potencia. El coeficiente del término de mayor grado se llama coeficiente principal, mientras que el coeficiente de x⁰ (o término sin variable) es el término independiente.
En la práctica, simplificamos la escritura de polinomios omitiendo los términos con coeficiente cero, escribiendo simplemente x en lugar de x¹ o 1x, y a₀ en lugar de a₀x⁰.
💡 Para identificar si una expresión es un polinomio, recuerda que todos los exponentes de la variable deben ser enteros no negativos. Expresiones como √x o 1/x no son polinomios.
El grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable con coeficiente distinto de cero. Por ejemplo, el polinomio P(x) = 3 - (1/2)x + 2x² + x³ tiene grado 3.
Dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales si y sólo si tienen los mismos términos (excluyendo aquellos con coeficiente cero). Esto significa que sus grados deben coincidir y cada coeficiente debe ser idéntico.
La suma de polinomios P(x) + Q(x) se obtiene sumando los coeficientes de los términos semejantes: (x) = ∑xᵏ, donde k va de 0 al máximo grado entre P y Q.
El polinomio opuesto (x) se forma cambiando el signo de todos los coeficientes de P(x).
La diferencia entre polinomios se define como (x) = P(x) + (x), sumando el polinomio P con el opuesto de Q.
El producto de polinomios (PQ)(x) combina todos los términos utilizando la propiedad distributiva: (PQ)(x) = ∑cₖxᵏ, donde cₖ = ∑aⱼbₖ₋ⱼ y k va de 0 hasta n+m.
💡 Cuando multiplicas dos polinomios, el grado del resultado siempre será la suma de los grados de los polinomios multiplicados: gr(PQ) = gr(P) + gr(Q).
Para dividir polinomios, utilizamos el algoritmo de división para obtener un cociente C(x) y un resto R(x) tales que P(x) = Q(x)C(x) + R(x), donde el grado de R es menor que el grado de Q, o R = 0.
El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a se obtiene sustituyendo la variable por ese valor, resultando en un número que se denota como P(a).
Una raíz de un polinomio es un valor que, al sustituirlo en la variable, hace que el polinomio sea igual a cero. Matemáticamente, a es raíz de P(x) si P(a) = 0.
El Teorema del Resto establece que el valor numérico P(a) es igual al resto que se obtiene al dividir P(x) por . De esto se deduce una propiedad importante: a es raíz de P(x) si y sólo si P(x) es divisible por .
Según el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz en el conjunto de los números complejos.
Para encontrar todas las raíces de un polinomio, podemos usar el Teorema de la Descomposición Factorial: P(x) = aₙ^k₁^k₂...^kᵣ donde a₁,...,aᵣ son las raíces distintas y k₁,...,kᵣ sus multiplicidades.
💡 La multiplicidad de una raíz indica "cuántas veces" aparece ese valor como raíz. Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces contando cada una con su multiplicidad.
Los polinomios con coeficientes reales tienen propiedades especiales. Si a es una raíz compleja de P(x) ∈ ℝ[x], entonces su conjugado ā también es raíz con la misma multiplicidad.
Esto implica que el número de raíces complejas (no reales) de un polinomio con coeficientes reales es siempre par. Además, todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.
Para polinomios con coeficientes racionales, el Teorema de Gauss nos ayuda a encontrar posibles raíces racionales. Si p/q (con p y q enteros primos entre sí) es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces:
Este teorema no garantiza que todas las fracciones que cumplen estas condiciones sean raíces, pero reduce significativamente el conjunto de candidatos a examinar.
💡 Si un polinomio tiene coeficientes enteros y su coeficiente principal es 1 (polinomio mónico), entonces todas sus posibles raíces racionales son números enteros.
Al buscar raíces de un polinomio, una estrategia es primero encontrar una raíz, dividir el polinomio por el factor correspondiente, y continuar el proceso con el cociente resultante.
La descomposición en fracciones simples es una técnica que permite expresar una fracción algebraica compleja como suma de fracciones más sencillas. Esta herramienta es útil en cálculo integral y solución de ecuaciones diferenciales.
Para descomponer una expresión P(x)/Q(x) donde el grado de P es menor que el de Q, el procedimiento depende del tipo de raíces que tenga Q(x):
Caso 1: Si Q(x) tiene raíces reales simples a₁, a₂,..., aᵣ, entonces: P(x)/Q(x) = A₁/ + A₂/ + ... + Aᵣ/
Caso 2: Para raíces reales múltiples, si aᵢ tiene multiplicidad kᵢ: P(x)/Q(x) = B₁/^kᵢ + B₂/^ + ... + Bkᵢ/
Caso 3: Para factores cuadráticos irreducibles (raíces complejas): P(x)/Q(x) = / + ...
💡 Para calcular los coeficientes (A, B, M, N), puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador original e igualar términos, o evaluar en puntos específicos usando propiedades de los límites.
Si el grado de P es mayor o igual que el de Q, primero se debe dividir para obtener un cociente polinomial más una expresión donde el grado del numerador sea menor que el del denominador, y luego aplicar la descomposición a esta última parte.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
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Ana
usuaria de iOS
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Bárbara
Chile
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Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Juan Benitez
@juanbenit_phwug
Los polinomios son expresiones algebraicas fundamentales en el estudio del álgebra. Estas herramientas matemáticas no solo representan expresiones con términos de distintos grados, sino que también pueden considerarse como leyes de funciones. En este resumen, exploraremos su definición, propiedades, operaciones... Mostrar más
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Un polinomio en x es una expresión algebraica con la forma P(x) = a₍ₙ₎x^n + a₍ₙ₋₁₎x^ + ... + a₁x + a₀, donde los coeficientes pertenecen a los números complejos (ℂ) y n es un número natural o cero.
Cada término está compuesto por un coeficiente y una variable elevada a una potencia. El coeficiente del término de mayor grado se llama coeficiente principal, mientras que el coeficiente de x⁰ (o término sin variable) es el término independiente.
En la práctica, simplificamos la escritura de polinomios omitiendo los términos con coeficiente cero, escribiendo simplemente x en lugar de x¹ o 1x, y a₀ en lugar de a₀x⁰.
💡 Para identificar si una expresión es un polinomio, recuerda que todos los exponentes de la variable deben ser enteros no negativos. Expresiones como √x o 1/x no son polinomios.
El grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable con coeficiente distinto de cero. Por ejemplo, el polinomio P(x) = 3 - (1/2)x + 2x² + x³ tiene grado 3.
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Dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales si y sólo si tienen los mismos términos (excluyendo aquellos con coeficiente cero). Esto significa que sus grados deben coincidir y cada coeficiente debe ser idéntico.
La suma de polinomios P(x) + Q(x) se obtiene sumando los coeficientes de los términos semejantes: (x) = ∑xᵏ, donde k va de 0 al máximo grado entre P y Q.
El polinomio opuesto (x) se forma cambiando el signo de todos los coeficientes de P(x).
La diferencia entre polinomios se define como (x) = P(x) + (x), sumando el polinomio P con el opuesto de Q.
El producto de polinomios (PQ)(x) combina todos los términos utilizando la propiedad distributiva: (PQ)(x) = ∑cₖxᵏ, donde cₖ = ∑aⱼbₖ₋ⱼ y k va de 0 hasta n+m.
💡 Cuando multiplicas dos polinomios, el grado del resultado siempre será la suma de los grados de los polinomios multiplicados: gr(PQ) = gr(P) + gr(Q).
Para dividir polinomios, utilizamos el algoritmo de división para obtener un cociente C(x) y un resto R(x) tales que P(x) = Q(x)C(x) + R(x), donde el grado de R es menor que el grado de Q, o R = 0.
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El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a se obtiene sustituyendo la variable por ese valor, resultando en un número que se denota como P(a).
Una raíz de un polinomio es un valor que, al sustituirlo en la variable, hace que el polinomio sea igual a cero. Matemáticamente, a es raíz de P(x) si P(a) = 0.
El Teorema del Resto establece que el valor numérico P(a) es igual al resto que se obtiene al dividir P(x) por . De esto se deduce una propiedad importante: a es raíz de P(x) si y sólo si P(x) es divisible por .
Según el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz en el conjunto de los números complejos.
Para encontrar todas las raíces de un polinomio, podemos usar el Teorema de la Descomposición Factorial: P(x) = aₙ^k₁^k₂...^kᵣ donde a₁,...,aᵣ son las raíces distintas y k₁,...,kᵣ sus multiplicidades.
💡 La multiplicidad de una raíz indica "cuántas veces" aparece ese valor como raíz. Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces contando cada una con su multiplicidad.
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Los polinomios con coeficientes reales tienen propiedades especiales. Si a es una raíz compleja de P(x) ∈ ℝ[x], entonces su conjugado ā también es raíz con la misma multiplicidad.
Esto implica que el número de raíces complejas (no reales) de un polinomio con coeficientes reales es siempre par. Además, todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.
Para polinomios con coeficientes racionales, el Teorema de Gauss nos ayuda a encontrar posibles raíces racionales. Si p/q (con p y q enteros primos entre sí) es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces:
Este teorema no garantiza que todas las fracciones que cumplen estas condiciones sean raíces, pero reduce significativamente el conjunto de candidatos a examinar.
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Caso 2: Para raíces reales múltiples, si aᵢ tiene multiplicidad kᵢ: P(x)/Q(x) = B₁/^kᵢ + B₂/^ + ... + Bkᵢ/
Caso 3: Para factores cuadráticos irreducibles (raíces complejas): P(x)/Q(x) = / + ...
💡 Para calcular los coeficientes (A, B, M, N), puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador original e igualar términos, o evaluar en puntos específicos usando propiedades de los límites.
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