Características de la Función Cuadrática

Cuando trabajamos con una función cuadrática f(x) = ax² + bx + c, la forma de la parábola depende principalmente del valor de a. Si a es positivo, la parábola es convexa (abre hacia arriba) y su vértice representa un punto mínimo. Si a es negativo, la parábola es cóncava (abre hacia abajo) y su vértice es un punto máximo.

La amplitud de la parábola también está determinada por |a|. Cuanto menor es |a|, más abierta será la parábola; cuanto mayor es |a|, más cerrada o estrecha será.

Para encontrar el vértice de una parábola, podemos usar dos fórmulas clave:

• Coordenada x: xᵥ = -b/(2a) o xᵥ = $x₁+x₂$/2 (si conocemos las raíces)
• Coordenada y: yᵥ se obtiene reemplazando xᵥ en la ecuación original

⚠️ ¡Atención! El discriminante $b² - 4ac$ nos indica cuántas raíces tiene la función: si es mayor que cero tendrá dos raíces distintas, si es igual a cero tendrá una sola raíz, y si es menor que cero no tendrá raíces reales.

La función cuadrática puede expresarse en tres formas diferentes:

1. Forma polinómica: f(x) = ax² + bx + c
2. Forma canónica: f(x) = a$x-xᵥ$² + yᵥ
3. Forma factorizada: f(x) = a$x-r₁$$x-r₂$ (donde r₁ y r₂ son las raíces)

Transformaciones Entre Formas de la Función Cuadrática

El eje de simetría de una parábola coincide con la coordenada xᵥ del vértice. Este eje nos permite entender la simetría de la función respecto a los ejes coordenados.

Para pasar de la forma polinómica a factorizada, necesitamos encontrar las raíces usando la fórmula x₁,₂ = $-b ± √(b² - 4ac)$/(2a). Por ejemplo, para y = x² - 5x + 6, las raíces son x = 3 y x = 2, por lo que la forma factorizada es y = $x-3$$x-2$.

Para transformar de canónica a polinómica, simplemente desarrollamos los paréntesis. Si tenemos f(x) = $x-3$² + 2, al expandir obtenemos f(x) = x² - 6x + 11.

💡 Consejo práctico: Cuando necesites pasar de forma factorizada a canónica, primero convierte a forma polinómica y luego calcula el vértice. ¡Te ahorrará muchos pasos!

Para convertir de factorizada a polinómica, multiplicamos los términos dentro de los paréntesis. Por ejemplo, y = -3$x+4$$x-5$ se expande como y = -3x² + 3x + 60.

En el caso de factorizada a canónica, primero identificamos las raíces para calcular la coordenada x del vértice (promedio de las raíces). Después convertimos a forma polinómica y calculamos la coordenada y sustituyendo la coordenada x en la ecuación. Por ejemplo, con y = -$x+3$$x-1$, el vértice está en (-1,4).