Guía Completa de Ejercicios de Análisis Matemático 2

Portada y Información General

Esta es la guía oficial de trabajos prácticos para Análisis Matemático II de la Facultad de Ingeniería de la UBA. Incluye las materias CB001, 61.03 y 81.01 del primer cuatrimestre 2025.

La guía fue elaborada por un equipo de profesores especializados, liderado por José Luis Mancilla Aguilar. Es tu herramienta principal para practicar todos los conceptos que vas a ver en la materia.

Importante: Solo usá material oficial de la cátedra - otros apuntes pueden tener errores que te confundan en los parciales.

Bibliografía y Recursos

Los libros principales que más te van a servir son Apostol (Análisis Matemático) y Marsden-Tromba (Cálculo Vectorial). También tenés opciones como Edwards-Penney y Courant-John si preferís explicaciones más detalladas.

Para ecuaciones diferenciales (que aparecen hacia el final), los mejores son Blanchard-Devaney-Hall y Zill. Son más fáciles de seguir que los libros generales.

La cátedra publica material extra en el Campus: resoluciones de parciales, ayudas didácticas y apuntes complementarios. Este material oficial es tu mejor aliado para preparar evaluaciones.

Clave: No uses apuntes no oficiales - la cátedra no se responsabiliza por errores en material externo que puede llevarte por mal camino.

Contenidos - Primera Parte

El programa arranca con geometría del plano y espacio: puntos, conjuntos definidos por inecuaciones, y visualización en 2D y 3D. Después seguís con funciones vectoriales que describen curvas, incluyendo derivadas y rectas tangentes.

La parte de continuidad y diferenciabilidad es clave: límites, derivadas parciales, y cómo encontrar planos tangentes. También vas a trabajar con superficies paramétricas.

Funciones compuestas e implícitas te enseñan la regla de la cadena y cómo derivar cuando las variables están relacionadas implícitamente. El polinomio de Taylor y los extremos (incluyendo extremos condicionados) completan la base teórica.

Tip: Los primeros temas son fundamentales - si no los entendés bien, se te va a complicar todo lo que viene después.

Contenidos - Segunda Parte

Ecuaciones diferenciales incluye conceptos básicos, métodos de resolución, y aplicaciones como familias ortogonales y líneas de campo. Son súper útiles en física e ingeniería.

Las integrales de línea te permiten calcular trabajo y circulación a lo largo de curvas. Los campos de gradientes hacen que algunos cálculos sean mucho más fáciles.

Integrales múltiples (dobles y triples) son para calcular áreas, volúmenes y centros de masa. Los cambios de variables (como coordenadas polares y esféricas) simplifican problemas complejos.

La guía cierra con integrales de superficie y teoremas integrales como Green, Stokes y Gauss - estos conectan diferentes tipos de integrales y son el corazón del cálculo vectorial.

Estrategia: Practicá mucho con cambios de coordenadas - aparecen en casi todos los parciales y son puntos fáciles si los dominás.

Geometría del Plano y Espacio - Ejercicios Básicos

Los primeros ejercicios te enseñan a graficar ecuaciones en R² y R³. Vas a trabajar con rectas $x=4$, círculos $x²+y²=9$, parábolas $y=x²$ y superficies como planos y cilindros.

La diferencia clave es que una ecuación como 2x+y=4 en R² es una recta, pero en R³ es un plano. Lo mismo pasa con y=x²: en R² es una parábola, en R³ es una superficie cilíndrica.

También vas a encontrar ecuaciones cartesianas para conjuntos dados. Por ejemplo, si te dan dos puntos, tenés que hallar la ecuación de la recta que los une, o encontrar la ecuación de una circunferencia conociendo su centro y radio.

El concepto de pendiente aparece con la tangente del ángulo: m = tg(α). Esto es fundamental para entender rectas y planos tangentes más adelante.

Consejo: Hacé siempre el gráfico - visualizar te ayuda a entender si tu respuesta tiene sentido.

Conjuntos Definidos por Inecuaciones

Acá trabajás con conjuntos más complejos definidos por desigualdades. Por ejemplo, {(x,y): 0 < x²+y² < 1} es el interior de un círculo unitario (sin el centro ni el borde).

Los semiplanos como {(x,y): x≥0, y<0} representan regiones del cuarto cuadrante. Las hipérbolas aparecen con x²-y² < 1, y podés tener intersecciones como círculos con restricciones adicionales.

En R³ tenés regiones tridimensionales: esferas $x²+y²+z² ≤ 5$, conos $z > x²+y²$, cilindros $x²+z² ≤ 1$, y elipsoides $x²+y²+4z² ≤ 4$.

Los conceptos de punto interior, frontera y exterior son clave. También determinás si los conjuntos son compactos (cerrados y acotados) y arco-conexos (podés unir cualquier par de puntos con una curva continua).

Importante: Entender estos conjuntos te va a servir muchísimo cuando definas dominios de integración en integrales múltiples.

Funciones Vectoriales y Curvas

Las funciones vectoriales como g⃗$t$ = (t, t²) describen curvas paramétricamente. El parámetro t "recorre" la curva, y cada valor te da un punto específico.

Primero analizás límites como lim[t→0](sen$t$/|t|, √t) - acordate que cada componente tiene su propio límite. La continuidad significa que no hay "saltos" en ninguna componente.

Para que el conjunto imagen sea una curva, necesitás continuidad y que la función sea inyectiva (no se "pise" a sí misma). Podés obtener la ecuación cartesiana eliminando el parámetro.

Los ejemplos incluyen rectas, parábolas, elipses, hélices cilíndricas y curvas en el espacio. Dos parametrizaciones diferentes pueden dar la misma curva geométrica.

Tip: Siempre verificá el dominio del parámetro - determina qué parte de la curva estás describiendo.

Continuidad y Derivadas Parciales

Las funciones definidas por partes requieren análisis especial de continuidad. Por ejemplo, f(x,y) puede tener diferentes fórmulas según si x-y > 0 o x-y ≤ 0.

Para estudiar continuidad en un punto, calculás límites direccionales y verificás si coinciden con el valor de la función. Los casos problemáticos suelen estar en puntos donde cambia la definición.

Las derivadas parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y miden cómo cambia la función cuando variás una variable manteniendo las otras fijas. Se calculan derivando normalmente respecto a una variable.

Las derivadas de segundo orden incluyen ∂²f/∂x², ∂²f/∂y², y las mixtas ∂²f/∂x∂y. Si la función es de clase C², las derivadas mixtas son iguales.

Clave: En puntos problemáticos (como el origen), usá la definición de derivada como límite, no las fórmulas usuales.

Derivadas Direccionales y Diferenciabilidad

Las derivadas direccionales miden cómo cambia la función en cualquier dirección, no solo paralela a los ejes. Se calculan con la fórmula f'(P₀,v⃗) usando un versor v⃗.

Para funciones no diferenciables en un punto, las derivadas direccionales pueden existir en algunas direcciones pero no en otras. Siempre analizás caso por caso.

El gradiente ∇f = $∂f/∂x, ∂f/∂y$ indica la dirección de máximo crecimiento. Si f es diferenciable, entonces f'(A,v⃗) = ∇f(A)·v⃗.

Las funciones armónicas satisfacen la ecuación de Laplace: ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0. Son importantes en física (ecuaciones de calor, electrostática).

Estrategia: Si una función no es diferenciable, podés usar derivadas direccionales para estudiar su comportamiento local.

Aplicaciones del Gradiente y Aproximaciones

Las funciones lineales L(X) = Σcᵢxᵢ son siempre diferenciables, con gradiente constante ∇L = (c₁, c₂, ..., cₙ). Su derivada direccional es simplemente L(v⃗).

Los planos tangentes a superficies z = f(x,y) tienen ecuación z - f(a,b) = ∇f(a,b)·$x-a, y-b$. Si el plano es horizontal, entonces ∇f = 0 (punto crítico).

Las aproximaciones lineales f(x,y) ≈ f(a,b) + ∇f(a,b)·$x-a, y-b$ te permiten estimar valores cerca de puntos conocidos. Son súper útiles en problemas aplicados.

En análisis de errores, usás diferencias para estimar cómo se propagan las incertezas en mediciones. Por ejemplo, si medís lados de un rectángulo con error, podés estimar el error en el área.

Aplicación: Las aproximaciones lineales son fundamentales en ingeniería para estimar errores en mediciones y cálculos.