Presentación del Curso de Álgebra y Geometría Analítica

Estás a punto de sumergirte en el mundo del Álgebra y la Geometría Analítica, herramientas matemáticas fundamentales para tu formación en Ciencias Económicas. Este curso está organizado por la Universidad Nacional del Nordeste y te brindará conocimientos matemáticos aplicables a problemas económicos reales.

La guía que tienes en tus manos será tu compañera de estudio durante todo el ciclo 2025, ofreciéndote ejercicios prácticos que complementan las clases teóricas. Cada unidad aborda temas específicos como funciones, análisis combinatorio, vectores, matrices y programación lineal.

¡Consejo de estudio! No subestimes la importancia de esta materia. Los conceptos que aprenderás aquí aparecerán constantemente en tus asignaturas de especialidad como Microeconomía, Estadística y Matemática Financiera.

Equipo Docente y Estructura del Curso

El equipo docente de la cátedra está conformado por profesionales dedicados a guiarte en este recorrido matemático. La Profesora Laura Zalazar lidera como titular, acompañada por un equipo de profesores adjuntos y asistentes para las clases prácticas.

La materia está organizada para brindarte tanto el rigor teórico como la aplicación práctica que necesitarás en tu carrera. Las clases teóricas presentan los conceptos fundamentales, mientras que las prácticas te permiten aplicarlos a situaciones concretas.

El enfoque pedagógico busca que no solo aprendas a resolver ejercicios mecánicamente, sino que comprendas los conceptos para aplicarlos a problemas económicos reales. Por eso encontrarás en esta guía numerosos ejemplos contextualizados en escenarios de negocios, finanzas y administración.

Aprovecha los horarios de consulta y los materiales complementarios para aclarar tus dudas. ¡El éxito en esta materia depende de tu práctica constante!

Programa Analítico de la Materia

El programa está estructurado en siete temas principales que abarcan conceptos matemáticos fundamentales para las ciencias económicas:

Tema 1: Números Reales Parte desde los conjuntos numéricos básicos, profundizando en las propiedades del conjunto de números reales, operaciones e intervalos.

Tema 2: Funciones Explora las funciones como herramientas para modelar relaciones entre variables económicas. Estudiarás funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas con sus aplicaciones económicas concretas.

Tema 3: Análisis Combinatorio Aborda técnicas para contar y organizar conjuntos discretos, incluyendo permutaciones, combinaciones y el Binomio de Newton.

Tema 4: Vectores Introduce el concepto de vectores en espacios bi y tridimensionales, con operaciones y propiedades fundamentales para modelar situaciones económicas multivariables.

¡Dato importante! Los temas 5 (Matrices y Determinantes) y 6 (Sistemas de Ecuaciones) son esenciales para las asignaturas de administración y economía donde se modelan sistemas de variables interrelacionadas.

Tema 7: Sistemas de Inecuaciones y Programación Lineal Te enseña a optimizar recursos mediante modelos matemáticos, una herramienta crucial para la toma de decisiones empresariales.

Bibliografía y Referencias Bibliográficas

La bibliografía recomendada te permitirá profundizar en los temas vistos en clase. Los textos están seleccionados para complementar perfectamente el contenido del curso.

Bibliografía Obligatoria:

• Arya y Lardner: "Matemática aplicadas a la Administración y a la Economía" (5ª ed.)
• Grossman: "Álgebra lineal con aplicaciones" (7ª ed.)
• Haeussler y Paul: "Matemáticas para Administración y Economía" (13ª ed.)

Estos libros contienen ejemplos prácticos y ejercicios relacionados con situaciones económicas reales, facilitando la conexión entre los conceptos abstractos y sus aplicaciones.

Referencias por Tema: Cada tema del programa está vinculado con capítulos específicos de la bibliografía. Por ejemplo, para "Funciones" deberás consultar los capítulos 4, 5 y 6 de Arya y Lardner, junto con los capítulos 2, 3 y 4 de Haeussler y Paul.

Consejo de estudio: No te limites a resolver los ejercicios de la guía. Consulta los ejemplos de los libros recomendados para ver diferentes enfoques y ampliar tu comprensión de los conceptos.

La bibliografía complementaria te ofrece perspectivas adicionales y puede ser especialmente útil si algún concepto te resulta particularmente desafiante.

Unidad 2: Funciones - Ejercicios Prácticos

Las funciones son herramientas matemáticas fundamentales para modelar relaciones entre variables económicas. ¡Empecemos a trabajar con ellas!

El problema de introducción plantea una situación real de inversión bancaria. Si Martín está comparando dos opciones (24% anual vs 2% mensual capitalizable), deberá entender que el interés compuesto (2% mensual) genera un rendimiento mayor que el interés simple anual.

Los ejercicios prácticos te permiten trabajar con:

1. Funciones en contextos cotidianos: El ejercicio de la estación de servicio te ayuda a entender la relación entre cantidad de combustible y precio a pagar.

2. Funciones lineales y rectas: Los problemas 2 y 3 te piden hallar ecuaciones de rectas en distintas formas (explícita, general, segmentaria), una habilidad crucial para modelar costos fijos y variables.

3. Relaciones geométricas: Los ejercicios 4 y 5 trabajan con ángulos entre rectas y perpendiculares, conceptos que aplicarás al analizar pendientes en gráficos económicos.

¡Atención! En el ejercicio 6 sobre costos de fabricación, la constante 120 representa el costo fijo, un concepto económico fundamental. Identifica siempre el significado económico de los términos en las funciones.

Estos ejercicios están diseñados para que puedas relacionar conceptos matemáticos con situaciones económicas reales, como costos, precios y demanda.

Continuación de Ejercicios de Funciones

En esta página continuamos con ejercicios más avanzados de funciones, enfocándonos en aplicaciones económicas y análisis de diferentes tipos de funciones:

Los ejercicios 6 y 7 introducen funciones aplicadas a la economía:

• Funciones de costo total: C(x) = 2x³-x²+5x+120
• Funciones de demanda: y = 300/$3+0,25x$

Estas funciones te permiten calcular costos de producción, precios unitarios y cantidades demandadas - conceptos centrales en economía.

El ejercicio 8 te desafía a analizar distintos tipos de funciones (lineales, cuadráticas, cúbicas, racionales) determinando:

• Dominio e imagen
• Intersecciones con ejes
• Raíces o ceros
• Representación gráfica
• Clasificación y funciones inversas

El trabajo con estos distintos tipos de funciones es crucial ya que cada una modela diferentes relaciones económicas:

• Las funciones lineales para costos fijos y variables
• Las cuadráticas para ingresos con rendimientos decrecientes
• Las racionales para equilibrios de mercado

Recomendación práctica: Cuando trabajes con funciones económicas, siempre verifica si tu resultado tiene sentido en el contexto del problema. Un costo negativo o una demanda infinita generalmente indican un error en tus cálculos.

El dominio de estos conceptos te permitirá interpretar correctamente modelos económicos más complejos en asignaturas futuras.

Funciones Logarítmicas y Trigonométricas

Avanzamos ahora hacia funciones más complejas que también tienen importantes aplicaciones en modelos económicos y financieros:

Las funciones logarítmicas como f₄(x)=log₂$x-1$ y f₅(x)=log₁/₄$x/2$ son particularmente útiles para modelar:

• Crecimiento poblacional
• Rendimientos de inversiones a largo plazo
• Escalas de medición no lineales (como la escala Richter o los decibelios)

Para trabajar con estas funciones necesitas:

1. Determinar correctamente su dominio (recuerda que el logaritmo solo está definido para argumentos positivos)
2. Identificar si son crecientes o decrecientes (depende de la base)
3. Encontrar intersecciones con los ejes
4. Hallar asíntotas
5. Representarlas gráficamente

Las funciones trigonométricas como f₁(x)=cos x+1, f₂(x)=2 sen x y f₃(x)=cos(2x) modelan fenómenos cíclicos o periódicos como:

• Variaciones estacionales de ventas
• Fluctuaciones en mercados financieros
• Ciclos económicos

Dato interesante: Las funciones logarítmicas son especialmente útiles en finanzas para calcular el tiempo necesario para duplicar una inversión. La "regla del 72" es una aplicación práctica: 72 dividido por la tasa de interés anual te da aproximadamente los años necesarios para duplicar tu capital.

Dominar estas funciones te dará herramientas poderosas para analizar situaciones donde el crecimiento no es constante o sigue patrones cíclicos.

Unidad 3: Combinatoria - Problema de Introducción

El análisis combinatorio te proporciona herramientas matemáticas para contar el número de formas en que pueden ocurrir los eventos, crucial para analizar posibilidades en contextos económicos y empresariales.

El problema introductorio presenta una empresa de distribución de paquetes con un sistema de codificación basado en características como tamaño y destino. Esta situación nos permite aplicar varios conceptos de combinatoria:

• Permutaciones: Para calcular códigos formados por dígitos sin repetición (P₄,₁₀)
• Producto de conjuntos: Para determinar posibles combinaciones de letras y números
• Variaciones con repetición: Para códigos donde los elementos pueden repetirse

El problema también integra conceptos de:

1. Cálculo de volumen (largo × ancho × alto)
2. Clasificación de paquetes según dimensiones
3. Determinación de costos según características

Aplicación práctica: Las técnicas de combinatoria son fundamentales en análisis de riesgos financieros, estudios de mercado y optimización logística. Cuando una empresa analiza posibles escenarios económicos, utiliza precisamente estas herramientas matemáticas.

Los apartados (i) y (j) exploran cómo estos conceptos se aplican a situaciones de control y arqueo en operaciones diarias, mostrando cómo las matemáticas permiten verificar operaciones comerciales y detectar posibles errores o inconsistencias.

Estas técnicas combinatorias te serán útiles en asignaturas como Estadística, donde calcularás probabilidades y analizarás distribuciones de frecuencias.

Combinatoria - Continuación del Problema

Continuando con el problema de la empresa de distribución, ahora trabajamos aspectos más avanzados:

Los apartados (k) y (l) exploran la distribución y almacenamiento óptimo de paquetes, introduciendo problemas de:

• Optimización de espacio
• Estiba eficiente
• Gestión de capacidad limitada

El apartado (m) nos lleva a un contexto geométrico, calculando áreas en un depósito dividido en secciones. Este tipo de ejercicio combina:

• Geometría analítica
• Cálculo de superficies
• División óptima de espacios

Las expresiones algebraicas que modelizan superficies nos permiten:

1. Representar matemáticamente las dimensiones físicas
2. Optimizar la distribución del espacio
3. Calcular capacidades de almacenamiento con variables arbitrarias

Conexión interdisciplinaria: Estos problemas combinan aspectos de combinatoria, geometría y álgebra, mostrando cómo las matemáticas integradas permiten resolver problemas empresariales complejos. Las decisiones sobre almacenamiento y distribución afectan directamente los costos operativos.

El problema concluye invitándonos a evaluar la superficie total con valores concretos $a=16m, b=5m$, pasando del modelo algebraico a la aplicación numérica.

Esta integración de conceptos matemáticos para resolver problemas prácticos empresariales es exactamente lo que harás en tu futura carrera profesional en ciencias económicas.

Ejercicios de Análisis Combinatorio

Esta sección te presenta ejercicios fundamentales de combinatoria para practicar las técnicas de conteo:

Ejercicios con factoriales: Los problemas 1-4 te permiten practicar operaciones con factoriales como:

• Producto de factoriales: 3! × 4!
• Simplificación de expresiones: $n+3$!/$n+1$!
• Resolución de ecuaciones con factoriales

Ejercicios con sumatoria: Los problemas 5 y 6 abordan la notación de sumatoria, fundamental para:

• Representar compactamente sumas extensas
• Calcular totales en series de datos económicos
• Expresar formalmente sumatorias complejas

Problemas de aplicación práctica: Los ejercicios 7-13 presentan situaciones reales donde se aplica la combinatoria:

• Distribución de premios entre alumnos
• Formación de números con restricciones
• Cálculo de posibles saludos entre personas
• Extracción de sumas de dinero
• Selección de grupos de representantes con restricciones

Técnica de estudio: Para resolver problemas de combinatoria, identifica primero si el orden importa $permutaciones/variaciones$ o no importa (combinaciones), y si se permiten repeticiones. Esto determinará la fórmula a utilizar.

Estos ejercicios desarrollan tu capacidad analítica para contar posibilidades en situaciones complejas, una habilidad crucial para la toma de decisiones empresariales y el análisis de escenarios en economía.